Hur förändras derivatan
•
Gästbok | Matematik minimum - Terminologi | Nedladdning |
Derivatan är ett mått på hur snabbt en storhet (beroende variabeln) ändras då man varierar en annan storhet som den är beroende av.
Derivatan av en funktion anger dess förändringshastighet.
En funktion (ƒ) ändrar sitt värde (ƒ(x)), då x förändras.
Derivatan av en funktion (ƒ’) anger hur funktionens värde (ƒ(x)) varierar när värdet på x förändras.
•
Derivatans definition
Vi har i tidigare avsnitt ställt upp ändringskvoter och beräknat gränsvärden. Nu ska vi ställa upp ett generellt uttryck som gäller för alla gränsvärden. Vi föreställer oss en generell funktion y = f(x), och sätter ut en godtycklig punkt med koordinaten (x, f(x)):
Vi sätter sedan, på samma sätt som vi gjort tidigare, ut en ytterligare punkt, som ligger på avståndet h från den första punkten (x, f(x)). Denna andra punkt får koordinaterna ( (x+h), f(x+h) ):
k-värdet för linjen som sammanbinder dessa båda punkter blir:
$$k=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Om vi nu låter den högra punkten ( (x+h), f(x+h) ) ligga närmare och närmare den vänstra (x, f(x)), så innebär det att vi låter h, avståndet mellan punkterna, gå mot noll:
$$h\rightarrow 0$$
(Detta är samma tankegång som i avsnittet om tangentens lutning, där vi definierade formeln för ändringskvoten, men då utgick vi från en specifik punkt (2, f(2)) och lät den andra punkten (x,
•
Derivata
En derivata är en funktion som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion.[1] Intuitivt kan en funktions derivata sägas beskriva hur mycket och i vilken riktning funktionens värde förändras då man rör sig från en given punkt. Exempelvis kan positionen för en bil i rörelse beskrivas som en funktion av tiden sedan bilen sattes i rörelse. Derivatan av denna funktion beskriver bilens hastighet (hur mycket läget för bilen förändras inom den närmaste framtiden) och derivatan av hastigheten är bilens acceleration (hur mycket hastigheten förändras).
Derivata är ett grundläggande begrepp inom matematisk analys. Den enklaste formen av derivata är derivatan av en reellvärd funktion av en reell oberoende variabel, där derivatan är den hastighet med vilken funktionsvärdet ändras i den punkt som svarar mot den oberoende variabelns värde. Då förändringshastigheten hos en funktion inte måste vara konstant med avseende på den oberoende variabeln, är även derivatan